Türev Ders Notu

TÜREV

Bu ders notumuzda bir  çok sınavda karşımıza çıkan ve çok
önemli bir konu olan Türev konusunun geniş konu anlatımını,
konun önemli yerlerini bulabilirsiniz.

1. Türevin Tanımı 1

a, b birer reel sayı olmak üzere,

fonksiyonu verilmiş olsun.

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun
x₀ daki türevi denir.

Ve f ‘(x₀), Df(x₀) ya da  ile gösterilir. Buna göre,

x – x₀ = h alınırsa x ® x₀ için h ® 0
olur. Bu durumda, tanım olarak,

eşitliği de yazılabilir.

2. Türevin Tanımı 2

fonksiyonu için,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi
denir. Ve

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi
denir. Ve

biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit
ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit
değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi
yoktur.

Sonuç

1. f ‘(a+) = f’(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır. 2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

Uyarı

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

TÜREV ALMA KURALLARI

1. xⁿ nin Türevi

2. c Sabit Sayısının Türevi

3. c × f(x) in Türevi

4. Toplamın Türevi

5. Farkın Türevi

6. Çarpımın Türevi

7. Bölümün Türevi

Sonuç

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

verilsin.  olmak üzere,

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da
olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan
türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise
fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

Sonuç

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur. Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi

10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

11. Bileşke Fonksiyonun Türevi

Uyarı

f ‘(2) gösterimi [f(2)]‘ gösterimi ile karıştırılmamalıdır. f ‘(2) ¹ [f(2)]‘ dir.Çünkü f ‘(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f ‘(x) in x = 2 için değeridir.[f(2)]‘ gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]‘ = 0 dır.

Kural

12. Köklü Fonksiyonun Türevi

Kural

13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi

Kural

14. Üstel Fonksiyonun Türevi

Kural

15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların
Türevi

fonksiyonu  şeklinde belirtilebileceği gibi, g
ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y =
f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman
mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla
bulunur.

16. Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.

x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi
düşünülmesiyle alınan türevi F_x ile ve y nin
değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle
alınan türevi F_y ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla
buluruz:

17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

18. Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi  olmak üzere,

f’(x) in türevi olan  ifadesine

y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.

Benzer şekilde,  ifadesine de y = f(x) in n.

mertebeden türevi denir.

Kural

19. Ters Fonksiyonların Türevi

f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan
f^–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun
zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

Kural

Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.

NOT:KONUYU AŞAĞIDAKİ SIRALAMA İLE TAKİP
EDİNİZ.

 Sayfa No İçerikleri :

• SAYFA 1: Türevin Tanımı ve Türev Alma
• SAYFA 2: Türevin Anlamı(Fiziksel, Geometrik vb.)-
  Ekstremum Problemleri