

TÜREV
Bu ders notumuzda bir çok sınavda karşımıza çıkan ve çok
önemli bir konu olan Türev konusunun geniş konu anlatımını,
konun önemli yerlerini bulabilirsiniz.
1. Türevin Tanımı 1
a, b birer reel sayı olmak üzere,
fonksiyonu verilmiş olsun.
limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun
x0 daki türevi denir.
Ve f ‘(x0), Df(x0) ya da
x – x0 = h alınırsa x ® x0 için h ® 0
olur. Bu durumda, tanım olarak,
eşitliği de yazılabilir.
2. Türevin Tanımı 2
fonksiyonu için,
limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi
denir. Ve
biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,
limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi
denir. Ve
biçiminde gösterilir.
f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit
ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit
değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi
yoktur.
Sonuç
1. f ‘(a+) = f’(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır. 2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir.3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir.4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir. |
Uyarı
Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir. |
TÜREV ALMA KURALLARI
1. xn nin Türevi
2. c Sabit Sayısının Türevi
3. c × f(x) in Türevi
4. Toplamın Türevi
5. Farkın Türevi
6. Çarpımın Türevi
7. Bölümün Türevi
Sonuç
![]() ![]() |
8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi
f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da
olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan
türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise
fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.
Sonuç
Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur. Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır. |
9. İşaret Fonksiyonunun Türevi
10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi
11. Bileşke Fonksiyonun Türevi
Uyarı
f ‘(2) gösterimi [f(2)]‘ gösterimi ile karıştırılmamalıdır. f ‘(2) ¹ [f(2)]‘ dir.Çünkü f ‘(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f ‘(x) in x = 2 için değeridir.[f(2)]‘ gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]‘ = 0 dır. |
Kural
![]() ![]() |
12. Köklü Fonksiyonun Türevi
Kural
![]() ![]() |
13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi
Kural
![]() ![]() |
14. Üstel Fonksiyonun Türevi
Kural
![]() ![]() |
15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların
Türevi
ve h iki fonksiyon olmak üzere
y = g(t)
x = h(t)
denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.
Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y =
f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman
mümkün olmayabilir.
Bu durumda,
y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla
bulunur.
16. Kapalı Fonksiyonların Türevi
F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.
x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi
düşünülmesiyle alınan türevi Fx ile ve y nin
değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle
alınan türevi Fy ile gösterelim.
Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla
buluruz:
17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
18. Ardışık Türevler
y = f(x) in türevi
f’(x) in türevi olan
y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.
Benzer şekilde,
mertebeden türevi denir.
Kural
![]() ![]() |
19. Ters Fonksiyonların Türevi
f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan
f–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun
zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.
Kural
Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir. ![]() ![]() |
NOT:KONUYU AŞAĞIDAKİ SIRALAMA İLE TAKİP
EDİNİZ.
Sayfa No İçerikleri :
- SAYFA 1: Türevin Tanımı ve Türev Alma
- SAYFA 2: Türevin Anlamı(Fiziksel, Geometrik vb.)-
Ekstremum Problemleri