Limit Ders Notu

Limit Ders Notu

Limit ve Süreklilik

Bu ders notumuzda bir  çok sınavda karşımıza çıkan ve çok
önemli bir konu olan Limit konusunun geniş konu anlatımını,
konun önemli yerlerini bulabilirsiniz.

LİMİT

A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA

x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür
yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve derscalisiyorum.com.tr biçiminde gösterilir.

x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür
yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve derscalisiyorum.com.tr biçiminde gösterilir.

B. LİMİT KAVRAMI

Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde
açıklayalım:
derscalisiyorum.com.tr

Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın
solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1,
y4) , B(x2, y3) ,
C(x3, y2) , D(x4,
y1), … noktalarını göz önüne alalım:

Bu noktaların apsisleri olan x1, x2,
x3, x4, … giderek a ya yaklaşırken,
ordinatları

f(x1) = y4, f(x2) =
y3, f(x3) = y2,
f(x4) = y1, … giderek b ye yaklaşır.

Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır
şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,

f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve

derscalisiyorum.com.tr

şeklinde gösterilir.

Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer
alan ve giderek a ya yaklaşan

E(x8, y5) , F(x7,
y6) , G(x6, y7) ,
H(x5, y8) , … noktalarını göz önüne
alalım.

Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 ,
x6 , x5 , … giderek a ya yaklaşırken,
ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7)
= y6 , f(x6) = y7 ,
f(x5) = y8 , … giderek d ye yaklaşır.

Bu durumu “x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.”
şeklinde ifade edebiliriz.

Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve

derscalisiyorum.com.tr

biçiminde gösterilir.

Kural

f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan
limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x
in a noktasındaki limiti L ise, derscalisiyorum.com.trbiçiminde gösterilir. x = a
daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a
daki limitidir.f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan
limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a
da limiti yoktur.

C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT
derscalisiyorum.com.tr

f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı
olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece
tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.

Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada
tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,

derscalisiyorum.com.tr

Kural

derscalisiyorum.com.tr

D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

Özellik

f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon
olsun.derscalisiyorum.com.tr
derscalisiyorum.com.tr

Özellik

derscalisiyorum.com.tr

Özellik


Özellik

derscalisiyorum.com.tr

Özellik

derscalisiyorum.com.tr

Özellik

derscalisiyorum.com.tr

E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ

Özellik

derscalisiyorum.com.tr

F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

f(x) = sgn [g(x)] olsun.derscalisiyorum.com.tr
Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca
uymayan örnekler vardır.
Söz gelimi, f(x) =
sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır
ve 1 dir.

G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ

Özellik

 derscalisiyorum.com.tr Bu sonuç genellikle
doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler
vardır.Söz gelimi, derscalisiyorum.com.trfonksiyonunun x = 0 da limiti
vardır.derscalisiyorum.com.tr

H. derscalisiyorum.com.tr NİN x = a DAKİ LİMİTİ

Özellik

derscalisiyorum.com.tr

I. TRİGONOMETRİK  FONKSİYONLARIN LİMİTİ

1. sinx in ve cosx in limiti

sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı
olduğu için,

derscalisiyorum.com.tr
olur.

2. tanx in limiti

tanx fonksiyonu derscalisiyorum.com.tr olmak üzere,

derscalisiyorum.com.trkoşuluna uyan bütün x reel değerleri
için tanımlı olduğu için,

derscalisiyorum.com.tr

olur.

Sonuç

derscalisiyorum.com.tr

3. cotx in limiti

cotx fonksiyonu derscalisiyorum.com.tr olmak üzere, derscalisiyorum.com.tr koşuluna uyan bütün x reel
değerleri için tanımlı olduğu için,

derscalisiyorum.com.tr

olur.

Sonuç

derscalisiyorum.com.tr

J. BELİRSİZLİK DURUMLARI

derscalisiyorum.com.tr

belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler
kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde
vereceğimiz L’Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.

Kural

derscalisiyorum.com.tr

Kural

m, n Î N olmak üzere, derscalisiyorum.com.trolur.

Kural

a > 0 olmak üzere, ¥ – ¥ belirsizliği olan
limitler, derscalisiyorum.com.trkuralını kullanarak
hesaplanabilir.

Kural

 derscalisiyorum.com.tr Buna göre, 0
× ¥ belirsizliği derscalisiyorum.com.tr veya derscalisiyorum.com.tr belirsizliğine dönüştürülerek
sonuca gidilir.

Kural

derscalisiyorum.com.tr

Bir Cevap Yazın

%d blogcu bunu beğendi: